68 Konzepte und Strukturen eines interaktiven Notenmoduls 1 16 0 0 1 24 1 8 1 1 12 1 8 1 8 β n b w Abbildung 3.3: Beispiel für die Berechnung der Noten-werte w einer Triole. In diesem Beispiel ist W = 1 4 und 1 12 1 12 m = 3. Die Zahlen unter der Triole entsprechen den Varia-blenwerten 1 24 der Formeln (3.1) bzw. (3.2). vorliegenden Teilungsverhältnissen ist der Wert 1 8 allerdings nur sehr mittelbar in Verbindung zu bringen: Wenn W die musikalische Dauer der gesamten m-ole be-zeichnet, so läßt sich immer ein natürlicher Exponent ν finden, der den Wert W m einer Note der gleichmäßig geteilten Gruppe wie folgt einschachtelt: 1 2ν 1 2ν+1 < W m ≤ Handelt es sich bei m um eine Zweierpotenz – wie beispielsweise bei Duolen –, so wird zur Darstellung der m-ole die kleinere Schranke 1/2ν+1 gewählt, ansonsten die größere. Beim Beispiel einer dreigeteilten Viertelnote ist W = 1 4 und m = 3, also folgt ν = 3, denn 1 8 . Somit wird die Triole in Gestalt von Achtelnoten 16 < 1 12 ≤ 1 notiert und gemäß ihrer Darstellung als »Achteltriole« bezeichnet. Zur Ermittlung der Dauer einer beliebigen Note innerhalb einer m-olen-Gruppe muß allerdings der umgekehrte Weg beschritten werden. Der Autor des Eingabeco-des fordert etwa eine Triole mit punktierter Achtel, Sechzehntel und anschließender Achtelnote (vgl. Abb. 3.3), doch um die zugehörigen Dauern mit Formel (3.1) be-stimmen zu können, muß der Basisnotenwert b bekannt sein. Während dieser bei regulär geteilten Noten unmittelbar der Notenwertbezeichnung entnommen werden kann, ergibt er sich bei irregulären Teilungen unter Verwendung der Gaußklammer aus folgender Beziehung 1 m ·W · β · 2[log2 1 falls log2m ∈ N∗ 0 sonst (3.2) m W ]+r(m) mit r(m) := b = wobei β den notierten Basisnotenwert der gerade betrachteten Note innerhalb der m-olen-Gruppe bezeichnet. Anhand der Abbildung 3.3 können die einzelnen Re-chenschritte für das zuvor beschriebene Beispiel noch einmal nachvollzogen werden. Wie bereits ausgeführt, ergeben sich die Einsatzzeiten sämtlicher Symbole durch sukzessive Addition der vorangegangenen Symboldauern. Nachdem letztere für Ak-korde und Pausen gemäß den oben angeführten Formeln berechnet werden können,4 ergeben sich die Zeitstempel der Symbole mit Nulldauer unmittelbar aus der gege-benen Definition. Ein Problem bleibt aber nach wie vor bestehen: Die Anordnung der Symbole mit identischer Einsatzzeit innerhalb eines Notensystems ist immer 4 Sämtliche Notenwerte und somit alle Zeitstempel lassen sich als rationale Zahlen darstellen. Um fehlerhafte Darstellungen durch Rundungsfehler zu vermeiden, bietet es sich an, statt Fließkommatypen eine Bruchklasse für diese Berechnungen zu verwenden.