5.3 Die Bestimmung der Notenabstände 157 w ˙ oe oe oe oe w ˙ oe oe oe oe Abbildung 5.7: Die Resultate der beiden Verhältnisfunktionen ψ0,4 und ψ∗0,4. Welche der Funktionen nun idealerweise in einem Notenmodul zum Einsatz kommen soll, scheint aufgrund der unterschiedlichen Empfehlungen in der Litera-tur letztlich eine Frage des Geschmacks zu sein. Viele Notensatzprogramme, wie Finale bevorzugen allerdings die Abstandsformeln der Form ψ∗a und überlassen dem Anwender die Selektion des Parameters a.55 Ebenso läßt sich Byrds »Wurzel-formel «56 auf ein ψ∗a zurückführen, denn es gilt: w wmin 2−1(w) = ψ∗√ Dabei entspricht der Wert a = √2−1 ≈ 0,414 nahezu dem soeben für Haders und Ross’ Proportionsangaben gewählten Parameter. In diesem Zusammenhang sei noch ein besondererWert für den Parameter a be-rücksichtigt, der laut den Aussagen einiger professioneller Notensetzer zu überaus harmonischen und ausgewogenen Abstandsproportionen führt.57 Die seit der An-tike 2 (√5 − 1) ≈ 0,618 beschäftigt bis heute immer bekannte irrationale Zahl = 1 wieder Künstler, Philosophen sowie Naturwissenschaftler und sie scheint eine der-art ergiebige Konstante darzustellen, daß ihr neben unzähligen Büchern auch eine regelmäßig erscheinende Fachzeitschrift mit Namen Fibonacci Quarterly58 gewid-met wurde. In den bildenden Künsten und er Architektur taucht sie in aller Regel in Form des Goldenen Schnitts auf. Dabei handelt es sich um ein Teilungsverhält-nis, bei dem sich der kürzere Abschnitt einer zweigeteilten Strecke zu dem längeren Abschnitt so verhält, wie der längere zur gesamten Strecke. Es ist leicht nach-zurechnen, daß das längere Teilstück hierbei genau das -fache der Gesamtlänge mißt. Weniger rational zu beantworten ist hingegen die Frage, warum gerade dieses Teilungsverhältnis unter optischen Gesichtspunkten als besonders schön empfunden und sogar als »göttliches Verhältnis« bezeichnet wird.59 Ihr kann und soll an dieser Stelle auch nicht weiter nachgegangen werden. Vermutlich trugen aber neben den rein optischen Eindrücken auch die vielfältigen mathematischen Zusammenhänge sowie die mystische Symbolik des Mittelalters, beispielsweise das Pentagramm, zu dessen herausragender Stellung bei. Im Bereich der Musiknotation greifen nun, wie erwähnt, verschiedene Notensetzer auf Notenabstände im Goldenen Verhält-nis zurück. Dies läßt sich allerdings nicht aus der Literatur ableiten, sondern zeigt sich vielmehr in der Forderung vieler professioneller Anwender an den Hersteller 55 Vgl. Welzel et al. (1999), Kap. 6, S. 29–32. 56 Vgl. Byrd (1985), S. 142. 57 Vgl. http://www.codamusic.com/coda/fin2000.asp (Stand: 23.12.1999). 58 Diese Bezeichnung wurde in Anlehnung an die Fibonacci-Folge (an) gewählt. Sie ist dadurch definiert, daß a0 = a1 = 1 und an+1 = an + an−1 gesetzt werden. Für den Grenzwert der Quotientenfolge an an an+1 gilt dabei gerade: lim = . an+1 n→∞ 59 Vgl. z.B. Beutelspacher und Petri (1996), S. 10 und 171–172.