184 Balken und Bögen oe oe oe oe oe oe oe oe oe oe oe oe Abbildung 6.2: Links: Balkensteigung nach linearer Regression. Rechts: Balken mit gedämpfter Steigung und verlängerten Notenhälsen. Die Berechnung der endgültigen Balkensteigung erfolgt nun in drei Schritten. Da der Balken dem Verlauf der darunterliegenden Noten folgen soll, wird durch lineare Regression zunächst eine dem Verlauf der n verschiedenen Notenkopfposi-tionen (xk, yk) angepaßte Steigung bestimmt, welche die Abstände zu den Noten-köpfen minimiert. Dies leistet der folgende Regressionskoeffizient: n (xk − ¯x)(yk − ¯y) n k=1 mreg := . (xk − ¯x)2 k=1 Die Variablen ¯x und ¯y bezeichnen dabei die arithmetischen Mittel der Koordina-tenkomponenten xk und yk. Im weitaus größten Teil der Fälle übersteigt der so errechnete Steigungswinkel φreg := arctan |mreg| allerdings die geforderten maxi-malen 30◦ (Abb. 6.2), so daß er in einem zweiten Schritt auf einen »erlaubten«Wert verkleinert werden muß. Die Steigungsdämpfung erfolgt nun nicht so wie vielleicht zunächst zu vermuten wäre, indem ausschließlich alle Steigungswinkel größer als 30◦ auf einen Wert unterhalb dieser Schranke gedrückt werden. Um ein gleichmäßiges Ansteigen bezüglich mreg zu gewährleisten, dämpft der Notensetzer sämtliche Win-kel φreg, also auch diejenigen kleiner als 30◦, auf φdmp ab. Je größer allerdings der Regressionswert ist, desto stärker fällt die entsprechende Dämpfung aus. Wanske liefert zur Beschreibung der Dämpfungsfunktion eine Wertetabelle mit ausgewähl-ten Winkeln, welche nur ausgewählte isolierte Steigungen abdeckt.12 Zwar stellt es kein Problem dar, solche Tabellen in einen Algorithmus zu integrieren, doch zieht dies unnötigen Aufwand nach sich, da sowohl positive als auch negative Steigun-gen berücksichtigt und bei nicht-tabellierten Winkeln geeignete Werte interpoliert werden müssen. Deshalb wurde versucht, den Dämpfungsvorgang gemäß den Vor-gaben der Tabelle durch eine einfache mathematische Funktion zu beschreiben; 5 tanh x, Abbildung 6.3 zeigt das Resultat in Gestalt der ungeraden Funktion y = 3 die jede Steigung mreg auf mdmp dämpft. Ihre geringe Abweichung von den Da-ten der Wertetabelle um maximal 0,06 – dies entspricht etwa einem Winkel 3◦– wirkt sich nicht nachteilig auf das Notenbild aus, da die Steigung im dritten Schritt ohnehin noch so variiert wird, daß die Balkenenden auf den Notenlinien zu liegen kommen. Verhindert also die gedämpfte Steigung in Verbindung mit der fixen Balkenlänge die Verankerung beider Endpunkte auf den Notenlinien, so muß der Steigungswinkel erneut leicht variiert werden. Dies gilt auch für Balken, die au-ßerhalb des Liniensystems verlaufen; ihre Enden werden an imaginären Hilfslinien befestigt.13 Unter Berücksichtigung des Treppeneffekts empfiehlt sich, den freien 12 Vgl. Wanske (1988), S. 157.