190 Balken und Bögen p5 p2 p2 b2 b3 b2 b7 b3 b1 b1 p3 b6 b4 b5 p4 p3 p1 p1 Abbildung 6.5: Links: Ein Kurvensegment wird durch drei Stützpunkte (p1, p2 und p3) beschrieben. Rechts: Komplexere Kurvenverläufe können durch Zusammensetzen mehre-rer solcher Segmente erzielt werden (hier drei Segmente). venklasse vorgestellt werden. Dabei handelt es sich um sogenannte Chaikin-Kurven, eine spezielle Art quadratischer B-Splines, die sich durch einen verblüffend einfa-chen geometrischen Algorithmus sehr schnell generieren lassen.27 Darüber hinaus erleichtern die zu ihrer Beschreibung herangezogenen Polynome zweiten Grades das Lösen der bei den weiteren Betrachtungen auftretenden Gleichungen. Bevor nun genauer auf die computergestützte Gestaltung musikalischer Bögen eingegangen wird, sollen kurz Aufbau und Eigenschaften der Chaikin-Kurven dargestellt wer-den, da im weiteren Verlauf dieses Abschnitts immer wieder darauf zurückgegriffen wird. Die generelle Aufgabe von Splines in der Geometrie ist die Modellierung kom-plexer Kurvenverläufe durch eine Reihe einfacherer Kurvensegmente, d.h. mehrere leicht zu beschreibende Kurvenstücke werden zu der gewünschten, gekrümmt ver-laufenden Strecke zusammengefügt. Je mehr Segmente Verwendung finden, desto variabler läßt sich der Kurvenverlauf gestalten. Entscheidend ist dabei, daß die zu-sammengesetzte Kurve an keiner Stelle Knicke aufweist, sondern jedes der glatten Segmente »paßgenau« in die benachbarten Abschnitte einmünden (vgl. Abb. 6.5). Der Verlauf eines einzelnen Segments wird durch sogenannte Kontrollpunkte, die nicht unbedingt auf der Kurve liegen müssen, gesteuert. Die Segmente der Chaikin- Kurven bestehen aus jeweils drei solcher Punkte, von denen normalerweise keiner auf dem Bogen liegt.Werden die Kontrollpunkte durch gerade Linien verbunden, so liegt das Kurvensegment komplett in dem entstandenen Dreieck. Kurvenanfangs-und -endpunkt befinden sich dabei genau in der Mitte jeweils einer Dreieckseite (vgl. auch Abb. 6.5). Die mathematische Beschreibung eines Chaikin-Segments kann – wie schon erwähnt – mit Hilfe quadratischer Polynome erfolgen. Unter Verwendung der drei Kontrollpunkte p1, p2 und p3 besitzt die daraus resultierende vektorwertige 27 Die Funktionsweise des Chaikin-Algorithmus’ wird u.a. in Joy (1997a) beschrieben.