6.2 Bögen 191 b(1) p2 p3 b1 = b(0) b(2) Abbildung 6.6: Ein aus zwei Kurvensegmenten zusammengesetzter symmetrischer Bo-gen. Er liegt komplett innerhalb einer trapezförmigen Hülle. Funktion b : [0, 1] → R2 die folgende Gestalt:28 x(t) y(t) = 1 b(t) = 2 (p1 − 2p2 + p3)t2 + (p2 − p1)t + 1 2 (p1 + p2). (6.1) Der Parameter t kann darin als Bruchteil des zwischen Startpunkt b1 = b(0) und Zielpunkt b3 = b(1) zurückgelegte Strecke interpretiert werden. Der im linken Teil der Abbildung 6.5 zusätzlich eingezeichnete Punkt b2 liegt genau auf halber Strecke und stimmt deshalb mit b( 1 2 ) überein. Stehen nun mehr als drei Kontrollpunkte zur Verfügung, dann ergibt sich jedem zusätzlichen Punkt ein neues Kurvensegment. So entstehen beispielsweise aus vier Punkten p1, . . . , p4 mit Hilfe der Formel (6.1) zwei durch die Punkttripel (p1, p2, p3) und (p2, p3, p4) definierten Segmente. Jeweils zwei Kontrollpunkte stimmen bei auf-einanderfolgenden Segmenten also überein und bewirken, da die Strecke zwischen zwei benachbarten Kontrollpunkten tangential zum Kurvensegment verläuft, einen glatten, nahtlosen Übergang. Um die komplette Kurve jetzt durch einen einzigen Ausdruck beschreiben zu können, wird der Parameterbereich des zweiten Segments mit entsprechender Substitution vom Intervall [0, 1] auf [1, 2] verschoben. Entspre-chend fallen die Kurvenpunkte b(2) bis b(3) in das dritte Segment. Folglich ist es nicht mehr nötig, sprachlich zwischen den Segmenten zu unterscheiden, denn aus der Angabe eines Kurvenpunktes b(t0) kann jederzeit die Nummer des Kurvenab-schnitts eindeutig bestimmt werden. Punkt b( 3 2 ) liegt beispielsweise genau in der Mitte des zweiten Segments und entspricht dem Punkt b4 der Abbildung 6.5. Soweit die allgemeinen Ausführungen. Die Modellierung eines musikalischen Bo-gens kann gemäß den vorangegangenen Darstellungen auf Grundlage einer unter-schiedlichen Anzahl aneinanderhängender Kurvensegmente durchgeführt werden. Anhand diverser Experimente mit verschiedenen Segmentzahlen hat sich gezeigt, daß zwar ein einzelnes Chaikin-Segment zu unflexibel ist, zwei spiegelsymmetrische Abschnitte aber bereits ausreichen, um elementare Bogenformen nachzubilden. Ab-bildung 6.6 zeigt einen auf diese Weise zusammengesetzten Bogen. In der Literatur finden sich bezugnehmend auf verschiedene Parameter unterschiedliche Hinweise über die detailliertere Bogengestaltung. So ist beispielsweise von Bogenkrümmun-gen, Bogenlängen und Bogensteigungen die Rede. All diese Freiheitsgrade werden 28 Vgl. dazu auch Joy (1997b) (bei der dort angegebenen Matrix wurde leider der Faktor 1 2 vergessen).