6.2 Bögen 199 aufkommen läßt. Eine Stichregel fordert deshalb die gleichmäßige Nähe aller Noten zum Bogen – er sollte also den Melodieverlauf möglichst gut nachzeichnen, was in dem vorangegangenen Beispiel offensichtlich mißlungen ist. Die Ursache liegt in der Wirkungsweise der Höhenvariation, welche durch die partielle Ableitung ∂b ∂h beschrieben werden kann: sin φ−cosφ∂b ∂h ∀ t ∈ [0, 2] (t) = t(t − 2) Sie besagt zum einen, daß die Bogenendpunkte b(0) und b(2) von einer Höhenän-derung, ∂h(0) = ∂b ∂h(2) = 0. Zum anderen wie erwartet, unberührt bleiben, denn ∂b erfährt der Bogenmittelpunkt b(1) – bei einem horizontalen Bogen entspricht er dem höchstgelegenen Punkt – die maximale Auslenkung.41 Der Wirkungsgrad auf alle anderen Bogenpunkte liegt zwischen den beiden Extrema maximaler und kei-ner Auslenkung. Der neue Bogenverlauf bneu mit einer um Δh verlängerten Höhe, ergibt sich aus dem alten balt durch den Zusammenhang ∂balt ∂h bneu = balt +Δh · . Wird die Höhe eines waagerechten Bogens beliebiger Länge beispielsweise um Δh = 1 verlängert, dann wandert der Punkt b( 1 4 ) nur um etwa 0,44 Einheiten nach oben. Noch problematischer wird es, wenn der Bogen nicht horizontal verlaufen kann, sondern gedreht werden muß. In diesem Fall verringert sich der vertikale Auslen-kungsgrad entsprechend dem Faktor cos φ, gleichzeitig kommt aber zusätzlich die horizontale Komponente ins Spiel, d.h. bei rotierten Bögen werden die Bogenpunk-te im Falle einer Höhenverlängerung nicht nur nach oben, sondern zusätzlich nach links bzw. rechts bewegt (Abb. 6.11). Diese horizontale Bewegung kann dafür ver-antwortlich zeichnen, daß der Abstandsgewinn, besonders über Störnoten in Nähe der Bogenenden, zusätzlich reduziert wird. Aus diesem Grund können durch Höhen-variation hauptsächlich solche Störnoten beseitigt werden, die in der Bogenmitte weiter über den Bogen hinausragen. Der Einfluß auf den Bogenrand fällt hingegen nur minimal aus. Deshalb kann bei ausschließlicher Anwesenheit von Störnoten am Rand, darauf verzichten, ihre Beseitigung durch Vergrößerung der Bogenhöhe in Betracht zu ziehen, denn der Abstand zu den Noten in der Bogenmitte würde dabei stark vergrößert. Befinden sich andererseits zusätzliche Störnoten im Bereich der Bogenmitte, so kommt ein diesbezüglicher Versuch durchaus in Frage. Gesucht wird folglich ein Ausdruck, welcher Rückschlüsse auf die Verteilung der Störnoten über den Bogenbereich zuläßt. Diese Aufgabe kann beispielsweise durch Funktion s : P(Z) → [−1, 1] mit der Definition − 1 (6.2) cos φ sin φ z − b1, 2 n · l s(Z) := z∈Z 41 Mathematisch kann dies durch Lösen der Gleichung ∂2b ∂h∂t sin φ−cos φ (t) = 2(t − 1) = 0 leicht gezeigt werden. Sowohl für die x- als auch für die y-Komponente liegt die maximale Auslenkung bei t = 1, also in der Bogenmitte.