Allerdings ist die Extension in Richtung Harmonielehre durchaus ein Bruch mit der Pertinenz, mit dem Topos von Aesthesis und Psychologie, welcher die GTTM positioniert. Hier werden mathematische Dimensionen der mentalen Realitätsebene angesprochen, die nicht mehr dieser Pertinenz angehören. Die diatonische Skala von Tonhöhenklassen, welche in TPS angesprochen wird, identifiziert sich mit ₇, der zyklischen Gruppe der Ordnung 7. Es werden darauf die Dreiklangstufen I, II, . . . , VII betrachtet, und mit ihrem Dur-, Moll- oder vermindertem Charakter notiert. Diese Stufen werden mathematischen Relationen unterworfen, also nicht psychologischen, sondern rein mentalen Konstrukten. Dazu läßt Lerdahl die Gruppe Trans(₇) der Transpositionen auf ₇ auf der Menge der Stufen operieren. Um die Relationen zwischen je zwei Stufen zu beschreiben, werden die Kardinalität des Durchschnitts und die Anzahl der Quinttranspositionen betrachtet. Daraus ergibt sich eine Art von Distanzrelation, die man auf dem diskreten Torus ₇ × ₇ zu veranschaulichen sucht. Wir sind hier also ganz in die Mathematik verwiesen, während die psychologische Begründung der mathematischen Konstrukte ausbleibt.

3.3.  Tori und andere Fallstricke

Die Rolle des Torus ₇ × ₇ ist wie folgt definiert. Lerdahl betrachtet die Operation des Torus auf der Menge der Dreiklangstufen durch Transposition, indem dem Paar (x,y) die Transposition um 2x + 4y zugeordnet wird. Die x-Koordinate wird zu einer x-fachen Verschiebung um eine Terz, die y-Koordinate wird zu einer y-fachen Quintverschiebung.

Die Verwandtschaft von Dreiklängen wird dann via die Distanz auf dem Torus erfaßt, die man als Verschiebungsgröße interpretiert. Diese Darstellung ist mathematisch gesehen reine Willkür. Die Operation einer Gruppe als Verschiebungsgruppe ist auf viele Arten möglich, als zweidimensionaler Torus wie hier, oder als mehrdimensionaler Torus mit variablen Faktoren. Nicht einmal ₇ ist bevorzugt, da die Gruppe ₇ ja von Primzahlordnung ist und daher von jedem nicht-trivialen Element erzeugt wird.

Die einzige intrinsische Topologie unter den Dreiklängen, welche die Durchschnitte auch invariant veranschaulicht, ist das harmonische Band, welches als Nerv der Dreiklangüberdeckung definiert ist und geometrisch ein Möbiusband ist³⁰

. Die vollkommene Unkenntnis dieses klassischen Resultats der Mathematischen Musiktheorie (es geht auf das Jahr 1980 zurück) und der Mathematik im allgemeinen bringt es mit sich, daß die hier unvermeidlichen Extensionen der pschologischen Realitätsebene an der – gemessen am Stand der Wissenschaft – längst nicht mehr nachvollziehbaren Inkompetenz in anderen Ebenen scheitern.