Weyde, Tillman: Lern- und wissensbasierte Analyse von Rhythmen

mit ihrem Algorithmus nicht bewährt habe, verwenden sie die Betragssummen- oder City-Block Metrik, die folgendermaßen definiert ist:

sum n n d(x,y) = |xi- yi| mit x,y (- R . i=1

(6.1)

Dabei bilden die verschiedenen Komponenten x_i bzw. y_i die drei Dimensionen Dauer, Tonhöhe und Intensität ab. Für die inhaltlich sinnvolle Definition einer solchen Metrik ist, wie bereits erwähnt wurde, eine Gewichtung der Dimensionen nötig. Tenney und Polansky haben diese Gewichte für ihre Beispiele durch Probieren ermittelt. Sie stellen auch fest, daß eine Bestimmung aus musikpsychologischen Untersuchungen sinnvoll wäre, daß aber solche Untersuchungen noch nicht durchgeführt wurden. In den Versuchen mit dem Programm wurden keine Anhaltspunkte für eine allgemeingültige Bestimmung der Gewichte gefunden: »no clear principle has been discovered for determining what the weights should be«.

Auf der Basis dieses Abstandsmaßes wird folgende Regel für die Bestimmung der Segmentierung angewendet:

Regel 6.2.1 Seien x₁,x₂,x₃,x₄ vier aufeinanderfolgende Noten. Eine Motivgrenze wird genau dann zwischen x₂,x₃ gesetzt, wenn der Abstand zwischen ihnen größer ist als der von x₁ zur vorherigen Note und der von x₂ zur folgenden Note, also wenn gilt: d(x₂,x₃) > d(x₁,x₂) und d(x₂,x₃) > d(x₃,x₄)

Daraus folgt, daß ein Motiv nach Tenney und Polansky mindestens zwei Töne enthält, wenn es nicht am Anfang oder Ende einer Sequenz liegt (Beweis siehe Anhang B).

Für zusammengesetzte TGs wird eine Erweiterung der Distanzmaße vorgeschlagen, die auf der Durchschnittsbildung für die einzelnen Parameter beruht. Eine Ausnahme gilt für die zeitlichen Abstände, wo der Beginn der ersten Teil-TG zugrundegelegt wird. Damit wird ein zusammengesetztes Maß über die Hierarchieebenen hinweg definiert:

Definition 6.2.2 Seien x₁,x₂ zwei aufeinander folgende TGs auf der Ebene e. Die Disjunktion zwischen x₁,x₂ ist die gewichtete Summe der Abstände auf allen unteren Ebenen bis einschließlich e. Seien l_i(x) die letzte TG auf der Ebene i, die in x enthalten ist und f_i(x) die erste TG auf Ebene i, die in x enthalten ist. Dann ist die Disjunktion dj definiert als:
$e dj(x1,x2) = sum aid(li(x1)),fi(x2)). i=1$ (6.2)

Tenney und Polansky haben die Gewichte dabei so gewählt, daß sie mit jeder niedrigeren Hierarchieebene halbiert werden, also _i 2ⁱ. Mit der Disjunktion als Abstandsmaß wird Regel 6.2.1 auf die übergeordneten Ebenen der Segmentierungshierarchie erweitert.

Diese Regeln stellen die Basis des Analysealgorithmus von Tenney und Polansky dar. Sie vereinigen die Prinzipien von Nähe und Ähnlichkeit auf verschiedenen Ebenen