Weyde, Tillman: Lern- und wissensbasierte Analyse von Rhythmen

nicht erfüllt ist, die man daher in der Anwendung fordern und überprüfen muß. Für minLen = 1 und maxLen > 1 wächst seg(n) exponentiell mit n.⁶

⁶ Für (1,2) entspricht seg(n) für n > 0 den Fibonacci-Zahlen F_n+1.

Einige Werte für seg bei verschiedenen Sequenzlängen und Werte von minLen und maxLen sind in Tabelle 8.1 angegeben.


	seg(n) für [minLen,maxLen]
n	[2,5]	[2,6]	[2,7]	[1,5]	[1,6]	[1,7]

1	0	0	0	1	1	1
2	1	1	1	2	2	2
3	1	1	1	4	4	4
4	2	2	2	8	8	8
5	3	3	3	16	16	16
6	4	5	5	31	32	32
7	7	7	8	61	63	64
8	10	12	12	120	125	127
10	24	29	31	464	492	504
12	57	71	79	1793	1936	2000
14	134	175	200	6930	7617	7936

Tabelle 8.1:

Anzahl der möglichen Segmentierungen in Abhängigkeit von der Sequenzlänge und den zulässigen Motivlängen

Für die Anzahl an möglichen Zuordnungen zo zweier Sequenzen E,V bei gegebenen Segmentierungen Sg_e,Sg_v mit e = |Sg_e|,v = |Sg_v| Motiven gilt:
$zo(v,e) = (v + 1)e.$ (8.4)

Die Basis ist v + 1 , weil jedem Eingabemotiv ein Motiv der Vorgabe oder nichts zugeordnet werden kann. Die Anzahl aller möglichen Interpretationen für Sequenzen V und E, Int(V,E) berechnet sich dann als
$seg sum (|V|)seg sum (|E|) Int(V,E) = zo(|Sgj(V )| ,|Sgk(E) |), j=1 k=1$ (8.5)

wobei Sg_j(V ) und Sg_k(E) und alle Möglichkeiten der Segmentierung von V und E durchlaufen. Wenn man |V | = |E| = n und |Sg_j| und |Sg_k|überschläglich als n/(minLen + 1) ansetzt, erhält man als groben Schätzwert:
$( ) ----n------ Int(V,E) ~~ seg(n)2 .----n-----+ 1 minLen + 1 . minLen + 1$ (8.6)

Damit ergeben sich bei minLen = 1 für n = 5 ca. 6.000 und für n = 10 bereits ca. 1.600.000.000 verschiedene Interpretationen. Die Anzahl der zu überprüfenden Interpretationen wächst stark mit n und für jede Interpretation müssen alle Notenzuordnungen und Tempovarianten berechnet werden. Daher ist ohne Begrenzungen